Les polygones réguliers

P roposition

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3. Les points images des éléments de \(\mathbb{U}_n\) sont les sommets d'un polygone régulier à \(n\) sommets inscrit dans le cercle trigonométrique.

Démonstration

Pour \(k \in \left\lbrace 0 ; ... ; n-1 \right\rbrace\) , on note \(z_k=\text e^{\frac{2ik\pi}{n}}\) et \(\text M_k\) le point image de \(z_k\) dans le plan complexe.

• Pour \(k \in \left\lbrace 0 ; ... ; n-1 \right\rbrace\) , on a \(\text O\text M_k=\left\vert z_k \right\vert=1\) donc \(\text M_k\) appartient au cercle trigonométrique.
  
• Pour \(k \in \left\lbrace 0 ; ... ; n-1 \right\rbrace\) ,
  \(\begin{align*}\text M_k\text M_{k+1}=\left\vert z_{k+1}-z_k \right\vert=\left\vert \text e^{\frac{2i(k+1)\pi}{n}}-\text e^{\frac{2ik\pi}{n}} \right\vert& =\left\vert \text e^{\frac{2ik\pi}{n}} \times \text e^{\frac{2i\pi}{n}}-\text e^{\frac{2ik\pi}{n}} \right\vert\\& =\left\vert \text e^{\frac{2ik\pi}{n}} \right\vert \times \left\vert \text e^{\frac{2i\pi}{n}}-1 \right\vert\\& =\left\vert z_k \right\vert \times \left\vert \text e^{\frac{2i\pi}{n}}-1 \right\vert\\& =\left\vert \text e^{\frac{2i\pi}{n}}-1 \right\vert\end{align*}\)
  qui ne dépend pas de \(k\) , donc tous les côtés du polygone \(\text M_0\text M_1\text M_2...\text M_{n-1}\) sont égaux.
• Pour \(k \in \left\lbrace 0 ; ... ; n \right\rbrace\) , les triangles \(\text O\text M_k\text M_{k+1}\) et \(\text O\text M_{k+1}\text M_{k+2}\) sont isométriques (car isocèles en \(\text O\) et \(\text M_k\text M_{k+1}=\text M_{k+1}\text M_{k+2}\) ), donc ont les mêmes angles. On en déduit que tous les angles du polygone \(\text M_0\text M_1\text M_2...\text M_{n-1}\) sont égaux.